Question

19．若向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2，则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上投影的最大值是（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． -$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{6}$
• D． -$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 对条件式子两边平方，用|$\overrightarrow{b}$|表示出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角θ的余弦值，代入投影公式，利用基本不等式得出投影的最大值．

解答 解：∵|2$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{a}$|=2，
∴|$\overrightarrow{b}$|²+4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+16=4，
设$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
则|$\overrightarrow{b}$|²+8|$\overrightarrow{b}$|cosθ+12=0．
∴cosθ=-$\frac{|\overrightarrow{b}{|}^{2}+12}{8|\overrightarrow{b}|}$．
∴$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上投影为|$\overrightarrow{a}$|cosθ=-$\frac{|\overrightarrow{b}{|}^{2}+12}{4|\overrightarrow{b}|}$=-（$\frac{|\overrightarrow{b}|}{4}$+$\frac{3}{|\overrightarrow{b}|}$）．
∵$\frac{|\overrightarrow{b}|}{4}$+$\frac{3}{|\overrightarrow{b}|}$≥2$\sqrt{\frac{3}{4}}$=$\sqrt{3}$．
∴|$\overrightarrow{a}$|cosθ≤-$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，投影公式，基本不等式的应用，属于中档题．