Question

如图，半径为30cm的圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形材料卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设OB与矩形材料的边OA的夹角为θ，圆柱的体积为Vcm³．
（Ⅰ）求V关于θ的函数关系式，并写出定义域；
（Ⅱ）求圆柱形罐子体积V的最大值．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知条件寻找数量间的等式关系，由此能求出圆柱的体积V关于θ的函数关系式．
（Ⅱ）令t=sinθ，t∈（0，1），cos²θ=1-t²，f（t）=

6750(t-t3)

π

，t∈（0，1），f′(x)=

6750(1-3t2)

π

，由此利用导数性质能求出体积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵半径为30cm的圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料OABC，
设OB与矩形材料的边OA的夹角为θ，圆柱的体积为V cm³．
∴V（θ）=

303cos2θsinθ

4π

=

6750cos2θsinθ

π

，0＜θ＜

π

2

．
（Ⅱ）令t=sinθ，t∈（0，1），cos²θ=1-t²，
∴f（t）=

6750(t-t3)

π

，t∈（0，1），
∴f′(x)=

6750(1-3t2)

π

，
由f′（t）=0，得t=

3

3

，或t=-

3

3

（舍），
由f′（t）＞0，得0＜t＜

3

3

；由f′（t）＜0，得

3

3

＜t＜1．
∴f（x）在（0，

3

3

）上单调递增，在（

3

3

，1）上单调递减，
即当t=

3

3

时，体积V取得最大值V_max=

1500 3

π

cm³．

点评：本题考查V关于θ的函数关系式的求法，考查函数的定义域的求法，考查圆柱形罐子体积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．