Question

在平面直角坐标系中，曲线y=x²+2x-3与坐标轴的交点都在圆C上，
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）如果圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

考点：圆方程的综合应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（I）求出曲线y=x²+2x-3与坐标轴的三个交点E、F、D的坐标，从而设出圆心C的坐标，根据|EC|=|FC|利用两点间的距离公式列式，算出圆心为C（-1，-1），进而得出半径，可得圆C的方程；
（II）先设点A，B的坐标，根据OA⊥OB得到两点坐标之间的关系，然后联立直线与圆的方程消去y得到关于x的一元二次方程，再由韦达定理得到两根之和与两根之积后代入所求的关系式，即可得到实数a的值．

解答： 解：（I）曲线y=x²+2x-3与y轴的交点为E（0，-3），与x轴的交点为F（1，0）、D（-3，0）
∵线段FD的垂直平分线为x=-1，
∴设圆C的圆心为（-1，b），
由|EC|=|FC|，得（0+1）²+（-3-b）²=（1+1）²+b²，解得b=-1．
由此可得圆心C（-1，-1），
圆C的半径r=

(1-0)2+(-1+3)2

=

5

，
因此，圆C的方程为（x+1）²+（y+1）²=5．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
圆C与直线x-y+a=0联立可得2x²+2（a+2）x+a²+2a-23=0，
∴x₁+x₂=-a-2，x₁x₂=

a2+2a-3

2

，
∴y₁y₂=（x₁+a）（x₂+a）=

a2-2a-3

2

，
∴a=±

3

．

点评：本题着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．