Question

下列说法中：
①若f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函数，则实数b=2；
②f（x）=

2013-x2

+

x2-2013

既是奇函数又是偶函数；
③已知f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈[0，+∞）时，f（x）=x（1+x），则当x∈R时，f（x）=x（1+|x|）；
④已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），则f（x）是奇函数．
其中正确说法的序号是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：①由区间对称性求得a，再由函数为偶函数求得b的值判断；
②由两个根式内部的代数式互为相反数化简后判断；
③当x＜0时，-x＞0，f（x）═-f（-x）=-[-x（1-x）]=x（1-x）=x（1+|x|），由此判断命题的真假；
④构造f（-x）和f（x）之间的关系式，看符合奇函数还是偶函数，先赋值求出f（-1），再令a=-1，b=x即可说明结论正确．

解答： 解：对于①，由f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函数，
则a+4=-2a+1，解得a=-1，f（x）=-x²+（b-2）x+2，且b-2=0，则b=2，命题①正确；
对于②，由

2013-x2≥0 x2-2013≥0

，得x=±

2013

，且f（x）=

2013-x2

+

x2-2013

=0，
∴f（x）=

2013-x2

+

x2-2013

既是奇函数又是偶函数，命题②正确；
对于③，已知f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈[0，+∞）时，f（x）=x（1+x），
则当x＜0时，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-[-x（1-x）]=x（1-x）．
∴当x∈R时，f（x）=x（1+|x|），命题③正确；
对于④，已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足
f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），
∵f（1）=f[（-1）²]=-f（-1）-f（-1）=0，∴f（-1）=0．
令x=-1，y=x，则f（-x）=f（-1•x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），
因此f（x）是奇函数，命题④正确．
故答案为：①②③④．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数奇偶性的性质，是中档题．