题目内容

如图在边长为a的正方形ABCD中，E、F分别为边BC、CD中点，设
AB
=
α
，
AD
=
β
．
（1）试用
α
、
β
表示向量
AE
、
AF
；
（2）求向量
AE
、
AF
夹角的余弦值大小．
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（1）由E、F分别为边BC、CD中点，
AB
=
α
，
AD
=
β
．利用向量的三角形法则和向量相等可得
AE
=
AB
+
BE
=
α
+
1
2
β
，同理
AF
=
1
2
α
+
β
．
（2）
α
•
β
=0．由（1）可得：利用向量的数量积性质和模的计算公式可得
AE
•
AF
=a2.|
AE
|=
5
2
a，|
AF
|=
5
2
a．再利用向量夹角公式可得cos＜
AE
，
AF
＞=
AE
•
AF
|
AE
| |
AF
|
即可得出．
解答： 解：（1）∵E、F分别为边BC、CD中点，
AB
=
α
，
AD
=
β
．
∴
AE
=
AB
+
BE
=
AB
+
1
2
BC
=
AB
+
1
2
AD
=
α
+
1
2
β
，
同理
AF
=
1
2
α
+
β
．
（2）
α
•
β
=0．
由（1）可得：
AE
•
AF
=(
α
+
1
2
β
)•(
1
2
α
+
β
)=
1
2
α
2+
1
2
β
2=a2．
|
AE
|=
α
2+
1
4
β
2+
α
•
β
=
5
2
a，同理可得|
AF
|=
5
2
a．
∴cos＜
AE
，
AF
＞=
AE
•
AF
|
AE
| |
AF
|
=
a2
5
4
a2
=
4
5
．
点评：本题考查了向量的三角形法则、数量积的运算性质、向量的夹角公式，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形，侧面PAD是等边三角形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AD=2AB=2，平面PAD⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）求证：BE⊥CD；
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如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．
（1）求证：AD⊥平面PBE
（2）若VP-BCDE=2VQ-ABCD，试求
CP
CQ
的值．
已知函数f（x）=2sin（
π
4
+x）cos（
π
4
-x）-1
（1）求函数f（x）的周期；
（2）若函数g（x）=f（x）-2
3
cos2x，试求函数g（x）的单调递增区间；
（3）若f2（x）-cos2x≥m2-m-7恒成立，试求实数m的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点F与抛物线y2=-4x的焦点重合，直线x-y+
2
2
=0与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切．
（1）求该椭圆C的方程；
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已知OPQ是半径为1，圆心角为
π
4
的扇形，C是扇形弧上的动点．ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=θ．
（1）求当角θ取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大值．
（2）当矩形ABCD的面积为
6
-2
4
时，求角θ的值．
已知数列{an}是首项a1=4，公比q≠1的等比数列，Sn是其前n项和，且4a1，a5，-2a3成等差数列．
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如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2
2
，PA=2，
（1）求PC与平面ABCD所成角的大小；
（2）求三棱锥P-ABE的体积．
已知函数f（x）=
sinx， 当sinx≥cosx
cosx， 当sinx＜cosx
，现有下列四个命题：
p1：函数f（x）的值域是[-1，1]；
p2：当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+
3π
2
（k∈Z）时，f（x）＜0；
p3：当且仅当x=2kπ+
π
2
（k∈Z）时，该函数取得最大值1；
p4：函数f（x）是以2π为最小正周期的周期函数．
其中为真命题的是
 
．

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