Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形，侧面PAD是等边三角形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AD=2AB=2，平面PAD⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）求证：BE⊥CD；
（3）求三棱锥P-ACD的体积V．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证BE∥平面PAD，可先构建平面EBM，证明平面EBM∥平面APD，由面面平行，得到线面平行；
（2）取PD的中点F，连接FE，根据线面垂直的判定及性质，及等腰三角形性质，结合线面垂直的判定定理可得AF⊥平面PDC，又由BE∥AF，可得BE⊥平面PDC；
（3）利用V_P-ACD=V_C-PAD，即可求三棱锥P-ACD的体积V．

解答： （1）证明：取CD的中点M，连接EM、BM，则四边形ABMD为矩形
∴EM∥PD，BM∥AD；
又∵BM∩EM=M，
∴平面EBM∥平面APD；
而BE?平面EBM，
∴BE∥平面PAD；…（4分）
（2）证明：取PD的中点F，连接FE，则FE∥DC，BE∥AF，
又∵DC⊥AD，DC⊥PA，
∴DC⊥平面PAD，
∴DC⊥AF，DC⊥PD，
∴EF⊥AF，
在Rt△PAD中，∵AD=AP，F为PD的中点，
∴AF⊥PD，又AF⊥EF且PD∩EF=F，
∴AF⊥平面PDC，又BE∥AF，
∴BE⊥平面PDC，
∴CD⊥BE；…（10分）
（3）解：由（2）知∴CD⊥平面PAD，
∵△PAD是边长为1的等边三角形，
∴V_P-ACD=V_C-PAD=

1

3

×

1

2

×1×1×sin

π

3

×2=

3

6

∴三棱锥P-ACD的体积为

3

6

…（14分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查三棱锥P-ACD的体积，熟练掌握线面平行及线面垂直的判定定理是解答的关键．