Question

19．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点A（a，0），B（0，b），直线l交椭圆C于P，Q两点（点A，B位于直线l的两侧）
（i）若直线l过坐标原点O，设直线AP，AQ，BP，BQ的斜率分别为k₁，k₂，k₃，k₄，求证：k₁k₂+k₃k₄为定值；
（ii）若直线l的斜率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求四边形APBQ的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：2a=4，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²．联立解得a，c，b²，即可得出．
（2）（i）A（2，0），B（0，$\sqrt{3}$）．设直线l的方程为：y=kx，P（x₀，y₀），Q（-x₀，-y₀）．与椭圆方程联立解得P，Q坐标，再利用斜率计算公式即可证明．
（ii）设直线l的方程为：y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+m，$（-\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}）$．P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．与椭圆方程联立可得：3x²+2$\sqrt{3}$mx+2m²-6=0，△＞0，解得$-\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$．利用根与系数的关系可得：|PQ|=$\sqrt{（1+\frac{3}{4}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，点A，B分别到直线l的距离d₁=$\frac{2|\sqrt{3}+m|}{\sqrt{7}}$，d₂=$\frac{2|\sqrt{3}-m|}{\sqrt{7}}$．四边形APBQ的面积S=$\frac{1}{2}{d}_{1}|PQ|$+$\frac{1}{2}{d}_{2}$|PQ|，即可得出．

解答 （1）解：由题意可得：2a=4，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²．
联立解得a=2，c=1，b²=3．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）证明：（i）A（2，0），B（0，$\sqrt{3}$）．
设直线l的方程为：y=kx，P（x₀，y₀），Q（-x₀，-y₀）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：x²=$\frac{12}{3+4{k}^{2}}$，
∴P$（\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}，\frac{2\sqrt{3}k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}）$，Q$（-\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}，-\frac{2\sqrt{3}k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}）$．
∴k₁=$\frac{\frac{2\sqrt{3}k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}}{\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}-2}$=$\frac{\sqrt{3}k}{\sqrt{3}-\sqrt{3+4{k}^{2}}}$，
k₂=$\frac{-\frac{2\sqrt{3}k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}}{-\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}-2}$=$\frac{\sqrt{3}k}{\sqrt{3}+\sqrt{3+4{k}^{2}}}$，
k₃=$\frac{\frac{2\sqrt{3}k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}-\sqrt{3}}{\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}}$=$\frac{2k-\sqrt{3+4{k}^{2}}}{2}$，
k₄=$\frac{-\frac{2\sqrt{3}k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}-\sqrt{3}}{-\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}}$=$\frac{2k+\sqrt{3+4{k}^{2}}}{2}$．
∴k₁k₂+k₃k₄=$\frac{3{k}^{2}}{3-（3+4{k}^{2}）}$+$\frac{4{k}^{2}-（3+4{k}^{2}）}{4}$=$-\frac{3}{4}$-$\frac{3}{4}$=-$\frac{3}{2}$为定值．
（直接设点利用椭圆方程代入也可以得出）
（ii）设直线l的方程为：y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+m，$（-\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}）$．P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：3x²+2$\sqrt{3}$mx+2m²-6=0，
△=12m²-12（2m²-6）=12（6-m²）＞0，解得$-\sqrt{6}≤m≤\sqrt{6}$．
∴x₁+x₂=$\frac{-2\sqrt{3}m}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-6}{3}$．
∴|PQ|=$\sqrt{（1+\frac{3}{4}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{\frac{7}{4}×（\frac{4{m}^{2}}{3}-4×\frac{（2{m}^{2}-6）}{3}）}$=$\sqrt{\frac{7（6-{m}^{2}）}{3}}$．
点A，B分别到直线l的距离d₁=$\frac{|\sqrt{3}+m|}{\sqrt{1+\frac{3}{4}}}$=$\frac{2|\sqrt{3}+m|}{\sqrt{7}}$，d₂=$\frac{|-\sqrt{3}+m|}{\sqrt{1+\frac{3}{4}}}$=$\frac{2|\sqrt{3}-m|}{\sqrt{7}}$．
∴四边形APBQ的面积S=$\frac{1}{2}{d}_{1}|PQ|$+$\frac{1}{2}{d}_{2}$|PQ|
=$\frac{1}{2}×$$\sqrt{\frac{7（6-{m}^{2}）}{3}}$（$\frac{2|\sqrt{3}+m|}{\sqrt{7}}$+$\frac{2|\sqrt{3}-m|}{\sqrt{7}}$）
=2$\sqrt{6-{m}^{2}}$≤2$\sqrt{6}$，当且仅当m=0时取等号．
∴直线l经过原点时，边形APBQ的面积取得最大值2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、三角形面积计算公式、点到直线的距离公式、二次函数函数的性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．