题目内容

7．已知F1，F2是椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）左右焦点，过F1的直线交椭圆于C，D两点，△CDF2的周长为8，椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆E交于A，B且$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，求证原点O到直线l的距离为定值．

分析 （Ⅰ）由F1，F2是椭圆左右焦点，过F1的直线交椭圆于C，D两点，△CDF2的周长为8，椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆E的方程．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x1=x2，y1=-y2，由$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，得x12-y12=0，从而求出原点O到直线l的距离为d=|x1|=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$；当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，由此利用韦达定理、点到直线距离公式、向量数量积，结合已知条件推导出点O到直线AB的距离为定值．

解答 解：（Ⅰ）∵F1，F2是椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）左右焦点，过F1的直线交椭圆于C，D两点，
△CDF2的周长为8，椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a=8}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
证明：（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
①当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x1=x2，y1=-y2，
∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，
∴x1x2+y1y2=0，∴x12-y12=0
∵3x12+4y12=12，∴|x1|=|y1|=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
∴原点O到直线l的距离为d=|x1|=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
②当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，
消元可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0
∴x1+x2=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，
∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，
∴x1x2+y1y2=0，∴（1+k2）×$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-km×$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$+m2=0
∴7m2=12（k2+1）
∴原点O到直线的距离为d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|m|}{\sqrt{\frac{7{m}^{2}}{12}}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
综上，点O到直线AB的距离为定值$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查点到直线的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、点到直线距离公式、向量数量积、椭圆性质的合理运用．

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