Question

过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的左焦点F（-

2

，0）作两条互相垂直的直线与椭圆分别相交于A、C及B、D，当直线AC与x轴垂直时，四边形ABCD的面积为4．
（Ⅰ）求椭圆标准方程；
（Ⅱ）求

|AC|2|BD|2

|AC|+|BD|

的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）求出AC与x轴垂直时的弦长，求出四边形的面积，解得b，再由a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）由于直线AC，BD均过左焦点，则以左焦点为极点，x轴为极轴，建立极坐标系，则有ρ=

ep

1-ecosθ

，求出弦长AC，BD，|AC|+|BD|，运用诱导公式和同角公式及二倍角公式，结合正弦函数的值域，即可得到最小值．

解答： 解：（Ⅰ）令x=-c，则

c2

a2

+

y2

b2

=1，
则y=±

b2

a

，则AC=

2b2

a

，
当直线AC与x轴垂直时，四边形ABCD的面积为4，
则

1

2

•

2b2

a

•2a=4，解得，b²=2，
又c=

2

，则a=

b2+c2

=2，
则椭圆标准方程为：

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）由于直线AC，BD均过左焦点，则以左焦点为极点，x轴为极轴，建立极坐标系，
则有ρ=

ep

1-ecosθ

=

c a •( a2 c -c)

1- c a cosθ

=

2 2 •(2 2 - 2 )

1- 2 2 cosθ

=

1

1- 2 2 cosθ

，
则|AC|=

1

1- 2 2 cosθ

+

1

1- 2 2 cos(π+θ)

=

2

(1- 2 2 cosθ)(1+ 2 2 cosθ)

=

2

1- 1 2 cos2θ

，
则有|BD|=

2

1- 1 2 cos2(90°+θ)

=

2

1- 1 2 sin2θ

，
即有|AC|+|BD|=

2

1- 1 2 cos2θ

+

2

1- 1 2 sin2θ

=

3

(1- 1 2 cos2θ)(1- 1 2 sin2θ)

，
则

|AC|2|BD|2

|AC|+|BD|

=

16

3

•

1

(1- 1 2 sin2θ)(1- 1 2 cos2θ)

，
由于（1-

1

2

sin²θ）（1-

1

2

cos²θ）=1-

1

2

（sin²θ+cos²θ）+

1

4

sin²θcos²θ
=

1

2

+

1

16

（sin2θ）²，
当sin2θ=±1时，上式取得最大值，且为

1

2

+

1

16

=

9

16

．
则有

|AC|2|BD|2

|AC|+|BD|

的最小值为

16

3

×

16

9

=

256

27

．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查椭圆的极坐标方程和运用：求弦长，考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于中档题．