题目内容
平面上定点F（0，1）和定直线l：y=-1，P为该平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且(
+
)•(
-
)=0．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点N，已知
=λ1
，
=λ2
，求证：λ1+λ2为定值．
| PF |
| PQ |
| PF |
| PQ |
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点N，已知
| NA |
| AF |
| NB |
| BF |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题,平面向量数量积的运算
专题：计算题,证明题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）方法一、设动点P（x，y），则动点Q（x，-1），运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，化简即可得到；
方法二、运用平方差公式，结合斜率的平方即为模的平方，结合抛物线的定义，即可得到轨迹方程；
（2）运用平面几何的知识：相似三角形的性质，结合斜率共线知识，以及抛物线的定义，即可得到定值0．
方法二、运用平方差公式，结合斜率的平方即为模的平方，结合抛物线的定义，即可得到轨迹方程；
（2）运用平面几何的知识：相似三角形的性质，结合斜率共线知识，以及抛物线的定义，即可得到定值0．
解答：
解：（1）方法一、设动点P（x，y），则动点Q（x，-1），
即有
+
=（-x，1-y）+（0，-1-y）=（-x，-2y），
-
=（-x，2），
（
+
）•（
-
）=x2-4y=0，
即有x2=4y，即为动点P的轨迹C的方程；
方法二、由于（
+
）•（
-
）=0，
则
2-
2=0，即有|
|=|
|，
即P到定点F的距离等于到定直线l的距离，
由抛物线的定义，可知P的轨迹为抛物线，且F为焦点，l为准线，
即有轨迹方程为x2=4y；
（2）证明：如图，由于
=λ1
，
=λ2
，
可得，λ1λ2＜0，
于是
=-
•
，①
过A，B分别作准线l的垂线，垂足为A1，B1，
则
=
=
．②
由①②可得λ1+λ2=0．
即有
| PF |
| PQ |
| PF |
| PQ |
（
| PF |
| PQ |
| PF |
| PQ |
即有x2=4y，即为动点P的轨迹C的方程；
方法二、由于（
| PF |
| PQ |
| PF |
| PQ |
则
| PF |
| PQ |
| PF |
| PQ |
即P到定点F的距离等于到定直线l的距离，
由抛物线的定义，可知P的轨迹为抛物线，且F为焦点，l为准线，
即有轨迹方程为x2=4y；
（2）证明：如图，由于
| NA |
| AF |
| NB |
| BF |
可得，λ1λ2＜0，
于是
|
| ||
|
|
| λ1 |
| λ2 |
|
| ||
|
|
过A，B分别作准线l的垂线，垂足为A1，B1，
则
|
| ||
|
|
| |AA1| |
| |BB1| |
|
| ||
|
|
由①②可得λ1+λ2=0．
点评：本题考查抛物线的定义和性质，考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查轨迹方程的求法，属于中档题．
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