Question

求函数f（x）=x³-3x²-a的极值，并且讨论当a为何值时函数f（x）恰好有一个零点，两个零点，三个零点．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,数形结合,导数的综合应用

分析：求出函数的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而得到极值，再作出直线y=a和y=x³-3x²，通过观察直线和曲线分别有1个交点、2个交点和3个交点的情况即可．

解答： 解：函数f（x）=x³-3x²-a的导数为
f′（x）=3x²-6x，
由f′（x）＞0，解得，x＞2或x＜0，f（x）递增；
由f′（x）＜0，解得，0＜x＜2，f（x）递减．
则有f（x）在x=0处取得极大值，且为-a，
f（x）在x=2处取得极小值，且为-4-a．
令f（x）=0，即有a=x³-3x²，
作出直线y=a和y=x³-3x²，
由于y=x³-3x²在（2，+∞），（-∞，0）内递增，在（0，2）内递减，
则y=x³-3x²在x=0处取得极大值，且为0，
在x=2处取得极小值，且为-4．
通过图象观察，可得，当a＞0或a＜-4时，有1个交点，即f（x）有1个零点；
当a=0或-4，有2个交点，即f（x）有2个零点；
当-4＜a＜0，有3个交点，即f（x）有3个零点．

点评：本题考查函数的导数的运用：求单调区间和极值，考查函数的零点的求法，注意运用数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题．