Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁．F₂．A是椭圆上的一点，AF₂⊥F₁F₂，原点O到直线AF₁的距离为

1

3

|OF₁|；
（1）求椭圆的离心率；
（2）若左焦点F₁（-1，0）设过点F₁且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于B，C两点，线段BC的垂直平分线与x轴交于G，求点G横坐标的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题设AF₂⊥F₁F₂，及F₁（-c，0），F₂（c，0），设点A（c，y），则

c2

a2

+

y2

b2

=1，由此利用点到直线的距离公式结合已知条件得e=

2

2

．
（2）由已知求出椭圆的方程为

x2

2

+y2=1，设直线BC的方程为y=k（x+1）（k≠0），代入椭圆方程，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．由此利用韦达定理结合已知条件能求出点G横坐标的取值范围．

解答： 解：（1）由题设AF₂⊥F₁F₂，及F₁（-c，0），F₂（c，0），
不妨设点A（c，y），其中y＞0．
由于点A在椭圆上，有

c2

a2

+

y2

b2

=1，
即

a2-b2

a2

+

y2

b2

=1，解得y=

b2

2ac

，从而得A(c，

b2

a

)．…（2分）
直线AF₁的方程为y=

b2

a

(x+c)，整理得b2x-2acy+b2c=0．
由题设，原点O到直线AF₁的距离为

1

3

|OF1|，即

c

3

=

b2c

b4+4a2c2

，…（4分）
将b²=a²-c²代入到上式并化简，得a²=2c²，
进而求得e=

2

2

．…（6分）
（2）∵左焦点F₁（-1，0），∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．…（7分）
设直线BC的方程为y=k（x+1）（k≠0），
代入椭圆方程，并整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
记B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），BC中点N（x₀，y₀）
则x1+x2=-

4k2

2k2+1

，x0=

1

2

(x1+x2)=-

2k2

2k2+1

，
y0=k(x0+1)=

k

2k2+1

，…（10分）
∴BC的垂直平分线NG的方程为y-y0=-

1

k

(x-x0)…（11分）
令y=0得xG=x0+ky0=-

2k2

2k2+1

+

k2

2k2+1

=-

k2

2k2+1

=-

1

2

+

1

4k2+2

，…（12分）∵k≠0，∴-

1

2

＜xG＜0．…（13分）
即点G横坐标的取值范围为(-

1

2

，0)．…（14分）

点评：本题考查椭圆离心率的求法，考查点的横坐标的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．