Question

6．已知点O为坐标原点，点A，B，C不共线，且$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），λ∈R，则点P的轨迹是∠BAC的角平分线所在直线．

Answer 1

分析 先根据$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$、$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$分别表示向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$方上的单位向量，确定$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$的方向与∠BAC的角平分线一致，再由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），得到$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），得答案．

解答 解：∵$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$、$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$分别表示向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$方向上的单位向量
∴$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$的方向与∠BAC的角平分线一致
又∵$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），
∴$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），
∴向量$\overrightarrow{AP}$的方向与∠BAC的角平分线一致
∴P点的轨迹为∠BAC的角平分线所在直线．
故答案为：∠BAC的角平分线所在直线．

点评 本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属基础题．