Question

11．已知函数f（x）=4sin$\frac{x}{2}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+2$\sqrt{3}$（cosx-1）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，$\frac{2π}{3}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简f（x）为正弦型函数，即可求出它的最小正周期；
（Ⅱ）根据三角函数的图象与性质，即可求出f（x）在区间[0，$\frac{2π}{3}$]上的最小值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=4sin$\frac{x}{2}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+2$\sqrt{3}$（cosx-1）
=4sin$\frac{x}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$）+2$\sqrt{3}$（cosx-1）
=2$\sqrt{3}$sin²$\frac{x}{2}$+2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+2$\sqrt{3}$（cosx-1）
=$\sqrt{3}$（1-cosx）+sinx+2$\sqrt{3}$（cosx-1）
=sinx+$\sqrt{3}$cosx-$\sqrt{3}$
=2sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$；
∴f（x）的最小正周期为T=2π；
（Ⅱ）∵0≤x≤$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{3}$≤x+$\frac{π}{3}$≤π，
当x+$\frac{π}{3}$=π时，即x=$\frac{2π}{3}$时，f（x）取得最小值，
∴f（x）在区间[0，$\frac{2π}{3}$]上的最小值是f（$\frac{2π}{3}$）=2sin（$\frac{2π}{3}$+π）-$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数的化简以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．