Question

16．（1）已知f（x-2）=3x-5，求f（x）；
（2）已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），对任意x满足f（3-x）=f（x），且有最小值$\frac{7}{4}$，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用换元法求解函数解析式；
（2）对任意x满足f（3-x）=f（x），说明函数关于x=$\frac{3}{2}$对称，然后直接设出一元二次函数的表达式即可．

解答 解：解：（1）令t=x-2，则x=t+2，t∈R，由已知有
f（t）=3（t+2）-5=3t+1，
故 f（x）=3x+1．
（2）由题知二次函数图象的对称轴为x=$\frac{3}{2}$，又最小值是$\frac{7}{4}$，
则可设f（x）=a（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{7}{4}$（a≠0），
又图象过点（0，4），则a（0-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{7}{4}$=4，解得a=1．
∴f（x）=$（x-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{7}{4}$=x²-3x+4．
所以，f（x）的解析式为：f（x）=x²-3x+4．

点评 本题考查了函数解析式、一元二次函数的基本性质与图形特征，属常考题型．