题目内容
17．求y=$\sqrt{{x}^{2}+x+1}$+$\sqrt{{x}^{2}-x+1}$的最小值．分析 把y=$\sqrt{{x}^{2}+x+1}$+$\sqrt{{x}^{2}-x+1}$化简成两点之间距离公式形式：$\sqrt{（x+\frac{1}{2}）^{2}+（0-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$+$\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+（0-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$，其几何意义为：几何意义为：P（x，0）到A（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）、B（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）两点间的距离．
解答 
解：由已知y=$\sqrt{{x}^{2}+x+1}$+$\sqrt{{x}^{2}-x+1}$化简：
y=$\sqrt{（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$+$\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$
=$\sqrt{（x+\frac{1}{2}）^{2}+（0-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$+$\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+（0-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$ ①
①式的几何意义为：P（x，0）到A（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）、B（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）两点间的距离
如右图所示，P到AB两点之间的最短距离，即A'B的长度．
作A点关于x轴的对称点A'（$-\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
根据两点之间的距离公式得：
A'B=$\sqrt{（-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}）^{2}+（-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=2
点评 本题考查利用几何法求解两点之间的距离，属难题．
如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=2，∠ABC=$\frac{π}{3}$．