Question

已知2013年2月10日春节．某蔬菜基地2013年2月2日有一批黄瓜进入市场销售，通过市场调查，预测黄瓜的价格f（x）（单位：元/kg）与时间x（x表示距2月10日的天数，单位：天，x∈（0，8]且x∈N^*）的数据如下表：

时间x	8	6	2
价格f（x）	8	4	20

（Ⅰ）根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述黄瓜价格f（x）与上市时间x的变化关系：f（x）=
ax+b，f（x）=ax²+bx+c，f（x）=a•b^x，其中a≠0；并求出此函数；
（Ⅱ）在日常生活中，黄瓜的价格除了与上市日期相关，与供给量也密不可分．已知供给量h（x）=

1

3

x-

5

18

（x∈N^*）．在供给量的限定下，黄瓜实际价格g（x）=f（x）•h（x）．求黄瓜实际价格g（x）的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（I）根据表中数据，表述黄瓜价格f（x）与上市时间x的变化关系的函数不是单调函数，在a≠0的前提下，可选取二次函数f（x）=ax²+bx+c进行描述．把表格提供的三对数据代入上式解出a，b，c即可；
（II）利用导数研究函数g（x）的单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）根据表中数据，表述黄瓜价格f（x）与上市时间x的变化关系的函数不是单调函数，这与函数f（x）=ax+b，f（x）=a•b^x，均具有单调性不符，
∴在a≠0的前提下，可选取二次函数f（x）=ax²+bx+c进行描述．
把表格提供的三对数据代入上式得到：

64a+8b+c=8 36a+6b+c=4 4a+2b+c=20

，
解得a=1，b=-12，c=40．
∴黄瓜价格f（x）与上市时间x的函数关系是f（x）=x²-12x+40．x∈（0，8]．
（Ⅱ）∵g（x）=f（x）•h（x），
∴g(x)=(x2-12x+40)(

1

3

x-

5

18

)=

1

3

x3-

77

18

x2+

300

18

x-

200

18

，
∴g′(x)=x2-

77

9

x+

50

3

．
令g′（x）=0．
∴9x²-77x+150=0，即（x-3）（9x-50）=0
解得x=3或x=

50

9

，
 令g′（x）＞0，则9x²-77x+150＞0，即（x-3）（9x-50）＞0，解得x＞

50

9

或x＜3．
又∵x＞0，∴函数g（x）在区间（0，3）和(

50

9

，8]上是增函数．
同理函数g（x）在区间(3，

50

9

)上递减，
∴g（x）_最小值=g(x)极小值=g(

50

9

)=g(5

5

9

)．
又x∈N^*，且g（6）＜g（5）．
∴g（x）_最小值=g(6)=

62

9

≈6.89，
∴黄瓜价格的最小值约为

62

9

≈6.89元/千克．

点评：本题考查了选择函数模型解决实际问题、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力和计算能力，属于难题．