Question

13．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n，a_n，$\frac{1}{2}$成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₂a_n+2，设数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n，证明$\frac{1}{2}≤{T_n}＜1$．

Answer 1

分析 （1）由S_n，a_n，$\frac{1}{2}$成等差数列，可得2a_n=S_n+$\frac{1}{2}$，利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）知${b_n}={log_2}{a_n}+2={log_2}{2^{n-2}}+2=n$，可得$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂项求和方法”与数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵S_n，a_n，$\frac{1}{2}$成等差数列，∴2a_n=S_n+$\frac{1}{2}$．，
当n=1时，2a₁=a₁+$\frac{1}{2}$，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
当n≥2时，2a_n-2a_n-1=${S}_{n}+\frac{1}{2}$-$（{S}_{n-1}+\frac{1}{2}）$，
化为：a_n=2a_n-1．
∴正项数列{a_n}为等比数列，公比为2，首项为$\frac{1}{2}$，∴${a_n}={2^{n-2}}$．
（2）证明：由（1）知${b_n}={log_2}{a_n}+2={log_2}{2^{n-2}}+2=n$，∴$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
则${T_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$，
即$\frac{1}{2}≤{T_n}＜1$．

点评 本题考查了递推关系与等比数列的通项公式、“裂项求和方法”与数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．