Question

9．已知定认在R上的可导函数f（x）的导函数f′（x），若对于任意实数x，有f′（x）＜f（x），且y=f（x）-1为奇函数，则不等式f（x）＜e^x的解集为（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （-∞，0）
• C． （-∞，e⁴）
• D． （e⁴，+∞）

Answer 1

分析 根据条件构造函数令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，由求导公式和法则求出g′（x），根据条件判断出g′（x）的符号，得到函数g（x）的单调性，再由奇函数f（x）的结论：f（0）=0求出g（0）的值，将不等式进行转化后，利用g（x）的单调性可求出不等式的解集．

解答 解：由题意令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
则g′（x）=$\frac{f′（x）{e}^{x}-f（x）（{e}^{x}）′}{{e}^{2x}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f（x）＞f′（x），
∴g′（x）＜0，
即g（x）在R上是单调递减函数，
∵y=f（x）-1为奇函数，
∴f（0）-1=0，即f（0）=1，g（0）=1，
则不等式f（x）＜e^x等价为$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1=g（0），
即g（x）＜g（0），
解得x＞0，
∴不等式的解集为（0，+∞），
故选A．

点评 本题主要考查导数与函数的单调性关系，奇函数的结论的灵活应用，以及利用条件构造函数，利用函数的单调性解不等式是解决本题的关键，考查学生的解题构造能力和转化思想，属于中档题．