题目内容
4．已知某海滨浴场的海浪高度（单位：米）是时间（单位：小时，0≤t≤24）的函数，记作y=f（t），如表是某日各时的浪高数据：
| t（时） | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
| y（米） | 1.5 | 1.0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 1.0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 |
（Ⅱ）观察图，从y=at+b，y=at2+bt+c，y=Acos（ωx+p）中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
（Ⅲ）依据规定，当海浪高度高于1.25米时蔡对冲浪爱好者开放，请依据（Ⅱ）的结论判断一天内的8：00到20：00之间有多长时间可供冲浪爱好者进行活动．
分析 （Ⅰ）直接根据表中数据描点；
（Ⅱ）由图象，可知应选择的函数模型为：y=Acos（ωt+φ）+b，利用$\left\{\begin{array}{l}{A+b=1.5}\\{-A+b=0.5}\end{array}\right.$求得A，b的值，
再利用周期求得ω，最后代入图象上一个最高点或一个最低点的坐标求得φ值，则函数解析式可求；
（Ⅲ）由（Ⅱ），得0.5cos$\frac{π}{6}t$+1＞1.25，解三角不等式得答案．
解答 解：（Ⅰ）由表中数据描点如图：
；
（Ⅱ）由图可知，应选择的函数模型为：y=Acos（ωt+φ）+b．
不妨设A＞0，ω＞0，
则A=$\frac{1.5-0.5}{2}=0.5$，b=$\frac{1.5+0.5}{2}=1$，$\frac{2π}{ω}=12$，ω=$\frac{π}{6}$．
∴y=0.5cos（$\frac{π}{6}t+$φ）+1，
又当x=0时，y=1.5，
∴0.5cosφ+1=1.5，得cosφ=1，则φ=2kπ，k∈Z．
∴y=0.5cos（$\frac{π}{6}t+$2kπ）+1=0.5cos$\frac{π}{6}t$+1，（0≤t≤24）；
（Ⅲ）由0.5cos$\frac{π}{6}t$+1＞1.25，得cos$\frac{π}{6}t$$＞\frac{1}{2}$，
∴$2kπ-\frac{π}{3}＜\frac{π}{6}t＜2kπ+\frac{π}{3}$，即12k-2＜t＜12k+2，k∈Z．
又8≤t≤20，∴10＜t＜14．
故一天内的8：00到20：00之间有4个小时可供冲浪爱好者进行活动．
点评 本题考查函数模型的选择及应用，考查简单的数学建模思想方法，考查读取图表的能力，训练了三角不等式的解法，是中档题．
| A． | f（t）＞x1 | B． | f（t）≥x1 | C． | f（t）＜x1 | D． | f（t）≤x1 |
| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{4}{9}$ | C． | $\frac{5}{9}$ | D． | $\frac{2}{3}$ |
| A． | （0，+∞） | B． | （-∞，0） | C． | （-∞，e4） | D． | （e4，+∞） |
某数学兴趣小组35名学生的成绩的茎叶图如图所示，若将学生的成绩由高到低编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[70，85）上的学生人数是5．