Question

19．已知|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=19
（1）求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ
（2）若$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$），求λ的值．

Answer 1

分析 （1）运用向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，可得$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-3$，再由向量夹角公式，计算即可得到所求值；
（2）由向量垂直的条件：数量积为0，解方程即可得到所求值．

解答 解：（1）由$（{2\overrightarrow a-3\overrightarrow b}）•（{2\overrightarrow a+\overrightarrow b}）=19$
可得$4{|{\overrightarrow a}|^2}-4\overrightarrow a•\overrightarrow b-3{|{\overrightarrow b}|^2}=19$．
又∵$|{\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}|=\sqrt{3}$，
∴$16-4\overrightarrow a•\overrightarrow b-9=19$，
即$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-3$，
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{{|{\overrightarrow a}|•|{\overrightarrow b}|}}=\frac{-3}{{2×\sqrt{3}}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∵0≤θ≤π，
∴$θ=\frac{5π}{6}$．
（2）由$\overrightarrow a⊥（\overrightarrow a+λ\overrightarrow b）$可得，$\overrightarrow a•（\overrightarrow a+λ\overrightarrow b）=0$，
即${\overrightarrow a^2}+λ\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，
即4-3λ=0，
解得$λ=\frac{4}{3}$．

点评 本题考查向量的数量积的定义和夹角公式，以及向量数量积的性质，向量的平方即为模的平方和向量垂直的条件：数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．