Question

已知α，β∈[0，

π

4

]，则sin（α-β）+2sin（α+β）的最大值为

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：设f（α）=sin（α-β）+2sin（α+β），α，β∈[0，

π

4

]可求f'（α）＞0，则f（α）单调递增，最大值即为f（

π

4

），故可解得sin（α-β）+2sin（α+β）的最大值为

5

．

解答： 解：设f（α）=sin（α-β）+2sin（α+β），α，β∈[0，

π

4

]
f（α）=sinαcosβ-cosαsinβ+2sinαcosβ+2cosαsinβ=3sinαcosβ+cosαsinβ
f'（α）=3cosαcosβ-sinαsinβ=2cosαcosβ+cos（α+β）
∵α，β∈[0，

π

4

]，
∴f'（α）＞0，f（α）单调递增
∴f（α）最大值=f（

π

4

）=3×

2

2

×cosβ+

2

2

×sinβ=

2

2

（3cosβ+sinβ）=

5

sin（β+t），其中tant=3，
∴sin（α-β）+2sin（α+β）的最大值为

5

．
故答案为：

5

．

点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数，复合函数的单调性，属于中档题．