题目内容
已知如图（1），正三角形ABC 的边长为2a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边上的点，且满足
=
=k，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如图（2）．
（Ⅰ） 证明AB∥平面DEF；
（Ⅱ） 求二面角B-AC-D的平面角的正切值；
（Ⅲ） 若异面直线AB与DE所成角的余弦值为
，求k的值．
| CE |
| CA |
| CF |
| CB |
（Ⅰ） 证明AB∥平面DEF；
（Ⅱ） 求二面角B-AC-D的平面角的正切值；
（Ⅲ） 若异面直线AB与DE所成角的余弦值为
| ||
| 4 |
考点：用空间向量求平面间的夹角,异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（Ⅰ）根据已知条件
=
便可得到AB∥EF，所以便得到AB∥平面DEF；
（Ⅱ）要求二面角B-AC-D的平面角的正切值，先要找到该平面角．由已知条件容易说明BD⊥平面ACD，所以过D作DG⊥AC，垂足为G，连接BG，则∠DGB便是二面角B-AC-D的平面角，所以根据已知的边的长度可求出DG，BD是已知的，所以带入tan∠DGB=
即可；
（Ⅲ）容易说明异面直线AB与DE所成角为∠DEF或其补角，容易说明DE=DF，并且在△CDE中，根据余弦定理即可求出DE，EF根据条件容易求出，所以在△DEF中，根据已知的cos∠DEF=
，及余弦定理即可建立关于k的方程，解方程即得到k的值．
| CE |
| CA |
| CF |
| CB |
（Ⅱ）要求二面角B-AC-D的平面角的正切值，先要找到该平面角．由已知条件容易说明BD⊥平面ACD，所以过D作DG⊥AC，垂足为G，连接BG，则∠DGB便是二面角B-AC-D的平面角，所以根据已知的边的长度可求出DG，BD是已知的，所以带入tan∠DGB=
| BD |
| DG |
（Ⅲ）容易说明异面直线AB与DE所成角为∠DEF或其补角，容易说明DE=DF，并且在△CDE中，根据余弦定理即可求出DE，EF根据条件容易求出，所以在△DEF中，根据已知的cos∠DEF=
| ||
| 4 |
解答：
解：（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵E、F分别是AC、BC上的点，且满足
=
；
∴AB∥EF；
∵AB?平面DEF，EF?平面DEF；
∴AB∥平面DEF；
（Ⅱ） 过D点作DG⊥AC于G，连结BG；
∵AD⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角；
∴∠ADB=90°，即BD⊥AD；
∴BD⊥平面ADC．∴BD⊥AC；
∴AC⊥DG，AC⊥BD；
∴AC⊥平面BGD；
∴BG⊥AC；
∴∠BGD是二面角B-AC-D的平面角；
在RtADC中，AD=a，DC=
a，AC=2a，∴DG=
=
=
；
在Rt△BDG中，tan∠BGD=
=
=
；
（Ⅲ）∵AB∥EF，∴∠DEF（或其补角）是异面直线AB与DE所成的角；
∵
=
=k，CA=CB=2a；
∴CE=CF=2ak，又∠ECD=∠FCD；
∴△CED≌△CFD；
∴DE=DF=
=
=a•
∵
=
=k；
∴
=k，AB=
a；
∴EF=
ak；
∴在△DEF中，cos∠DEF=
=
=
=
；
∴解得k=
．
| CE |
| CA |
| CF |
| CB |
∴AB∥EF；
∵AB?平面DEF，EF?平面DEF；
∴AB∥平面DEF；
（Ⅱ） 过D点作DG⊥AC于G，连结BG；
∵AD⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角；
∴∠ADB=90°，即BD⊥AD；
∴BD⊥平面ADC．∴BD⊥AC；
∴AC⊥DG，AC⊥BD；
∴AC⊥平面BGD；
∴BG⊥AC；
∴∠BGD是二面角B-AC-D的平面角；
在RtADC中，AD=a，DC=
| 3 |
| AD•DC |
| AC |
| ||
| 2a |
| ||
| 2 |
在Rt△BDG中，tan∠BGD=
| BD |
| DG |
| a | ||||
|
2
| ||
| 3 |
（Ⅲ）∵AB∥EF，∴∠DEF（或其补角）是异面直线AB与DE所成的角；
∵
| CE |
| CA |
| CF |
| CB |
∴CE=CF=2ak，又∠ECD=∠FCD；
∴△CED≌△CFD；
∴DE=DF=
| CE2+CD2-2CE•CD•cos∠ECD |
4a2k2+3a2-4
|
| 4k2-6k+3 |
∵
| CE |
| CA |
| CF |
| CB |
∴
| EF |
| AB |
| 2 |
∴EF=
| 2 |
∴在△DEF中，cos∠DEF=
| DE2+EF2-DF2 |
| 2DE•EF |
| EF |
| 2DE |
| ||
2a•
|
| ||
| 4 |
∴解得k=
| 1 |
| 2 |
点评：考查平行线分线段成比例定理，线面平行的判定定理，异面直线所成角的概念，以及二面角的平面角的概念，余弦定理．
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