Question

△ABC中，∠BCA=90°，AB=1，过C作CD⊥AB于D，过A作AE⊥AC，CD的延长线交AE于E，设∠B=θ，θ是变量．
（1）求证：CD-DE=tanθ•cos2θ；
（2）记y=

6

5

(CA+CB)-CD，求y的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,证明题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）运用解直角三角形的知识，锐角三角函数的定义，求得CD，DE，再由二倍角公式和同角公式化简即可得证；
（2）求出函数y的解析式，运用换元法令t=sinθ+cosθ，求出t的范围，两边平方，可得t的函数式，运用二次函数的最值求法，即可得到所求最值．

解答： （1）证明：CD=BCsinθ=ABcosθsinθ=sinθcosθ，
DE=ADtanθ=CAsinθtanθ=ABsin²θtanθ=sin²θtanθ，
CD-DE=sinθcosθ-sin²θtanθ=tanθ（cos²θ-sin²θ）=tanθ•cos2θ；
（2）解：y=

6

5

(CA+CB)-CD=

6

5

（sinθ+cosθ）-sinθcosθ
=

6

5

（sinθ+cosθ）-

(sinθ+cosθ)2-1

2

，
令t=sinθ+cosθ=

2

sin（θ+

π

4

），
由于0＜θ＜

π

2

，则

π

4

＜θ+

π

4

＜

3π

4

，则1＜t≤

2

，
则y=

6

5

t-

t2-1

2

=-

1

2

（t-

6

5

）²+

61

50

．
当t=

6

5

时，y取得最大值

61

50

；
当t=

2

时，y取得最小值为

6 2

5

-

1

2

．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查二倍角公式及两角和的正弦公式的运用，考查换元法的运用，考查二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题和易错题．