Question

已知函数f（x）=lnx-

x2

2e2

+a（其中a∈R，无理数e=2.71828…）．当x=e时，函数f（x）有极大值

1

2

．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）任取x₁，x₂∈[e，e²]，证明：|f（x₁）-f（x₂）|＜3．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）将x=e代入函数的表达式求出a的值即可；（2）先求出函数的导数，从而求出函数的单调区间；（3）问题转化为证明|f（x）_max-f（x）_min|＜3即可．

解答： 解：（1）由题知f（e）=lne-

e2

2e2

+a=

1

2

，解得a=0；
（2）由题可知函数f（x）的定义域为（0，+∞），
又f′（x）=

1

x

-

x

e2

=

e2-x2

e2x

=

(e+x)(e-x)

e2x

，
由

(e+x)(e-x)

e2x

＞0得0＜x＜e；

(e+x)(e-x)

e2x

＜0得x＞e；
故函数f（x）单调增区间为（0，e），单调减区间为（e，+∞）；
（3）因为f（x）=lnx-

x2

2e2

，由（1）知函数f（x）的单调减区间为（e，+∞），
故f（x）在[e，e²]上单调递减，
∴f（x）_max=f（e）=lne-

e2

2e2

=1-

1

2

=

1

2

；
f（x）_min=f（e²）=lne²-

e4

2e2

=2-

e2

2

，
∴f（x）_max-f（x）_min=

1

2

-（2-

e2

2

）=

e2-3

2

，
∴|f（x）_max-f（x）_min|=

e2-3

2

＜3①，
依题意任取x₁，x₂∈[e，e²]，欲证明|f（x₁）-f（x₂）|＜3，
只需要证明∴|f（x）_max-f（x）_min|＜3即可，
由①可知此式成立，所以原命题得证．

点评：本题考查了导数的应用，考查了函数的单调性，绝对值不等式的证明，本题属于中档题．