Question

16．实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x≥a}\\{y≥x}\\{x+y≤2}\end{array}\right.$（a＜1），且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（　　）

• A． $\frac{2}{11}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{11}{2}$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，
由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线的截距最大，
此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$
即A（1，1），此时z=2×1+1=3，
当直线y=-2x+z经过点B时，直线的截距最小，
此时z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=a}\end{array}\right.$，
即B（a，a），此时z=2×a+a=3a，
∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，
∴3=4×3a，
即a=$\frac{1}{4}$．
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合结合目标函数的几何意义求出最优解是解决本题的关键．