题目内容
函数f（x）=ax3+x恰有三个单调区间，则a的取值范围是 ．
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：求出函数f（x）的导数，要使f（x）=ax3+x恰有三个单调区间，则f'（x）=0，有两个不等的实根，利用判别式△＞0，进行求解即可．
解答：
解：∵f（x）=ax3+x，
∴f′（x）=3ax2+1，
若a≥0，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，函数只有一个增区间，不满足条件．
若a＜0，由f′（x）＞0，得-
＜x＜
，
由f′（x）＜0，得x＞
，或x＜-
∴满足f（x）=ax3+x恰有三个单调区间的a的范围是（-∞，0）；
故答案为：（-∞，0）；
∴f′（x）=3ax2+1，
若a≥0，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，函数只有一个增区间，不满足条件．
若a＜0，由f′（x）＞0，得-
-
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-
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由f′（x）＜0，得x＞
-
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∴满足f（x）=ax3+x恰有三个单调区间的a的范围是（-∞，0）；
故答案为：（-∞，0）；
点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，是中档题．
练习册系列答案
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