Question

不等式|x+3|-|x-1|≤a²-3a，对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A、（-∞，-2]∪[5，+∞）
• B、[-1，4]
• C、[-2，5]
• D、（-∞，-1]∪[4，+∞）

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：利用绝对值三角不等式可得|x+3|-|x-1|≤|（x+3）-（x-1）|=4，于是解不等式a²-3a≥4即可求得答案．

解答： 解：∵|x+3|-|x-1|≤|（x+3）-（x-1）|=4，
不等式|x+3|-|x-1|≤a²-3a，对任意实数x恒成立，
∴a²-3a≥4，即（a-4）（a+1）≥0，
解得：a≥4或a≤-1，
∴实数a的取值范围为（-∞，-1]∪[4，+∞），
故选：D．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查绝对值三角不等式|x+a|-|x+b|≤|a-b|的应用，考查等价转化思想与恒成立问题，属于中档题．