Question

3．函数f（x）=$\frac{1}{x}$+log₂$\frac{1+ax}{1-x}$为奇函数，则实数a=1．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{1}{x}$+log₂$\frac{1+ax}{1-x}$为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即f（-x）+f（x）=0，
则-$\frac{1}{x}$+log₂$\frac{1-ax}{1+x}$+$\frac{1}{x}$+log₂$\frac{1+ax}{1-x}$=0，
即log₂（$\frac{1+ax}{1-x}$•$\frac{1-ax}{1+x}$）=0，
则$\frac{1+ax}{1-x}$•$\frac{1-ax}{1+x}$=$\frac{1-{a}^{2}{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=1，
则1-a²x²=1-x²，则a²=1，
则a=±1，
当a=-1时，f（x）=$\frac{1}{x}$+log₂$\frac{1-x}{1-x}$=f（x）=$\frac{1}{x}$+log₂1=$\frac{1}{x}$，此时1-x≠0且x≠0，即x≠1且x≠0，则函数的定义域关于原点不对称，不是奇函数，不满足条件．
当a=1时，f（x）=$\frac{1}{x}$+log₂$\frac{1+x}{1-x}$=$\frac{1}{x}$+log₂$\frac{1+x}{1-x}$为奇函数，满足条件．
故答案为：1

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．