Question

10．已知0＜x＜π，且满足$sinx+cosx=\frac{7}{13}$．
求：
（i）sinx•cosx；
（ii）$\frac{5sinx+4cosx}{15sinx-7cosx}$．

Answer 1

分析 （i）由（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx=$\frac{49}{169}$，能求出sinx•cosx．
（ii）由（i）知$\frac{π}{2}＜x＜π$，sinx•cosx=-$\frac{60}{169}$．从而求出sin-cosx，进而求出sinx=$\frac{12}{13}$，cosx=-$\frac{5}{13}$，由此能求出$\frac{5sinx+4cosx}{15sinx-7cosx}$．

解答 解：（i）∵0＜x＜π，且满足$sinx+cosx=\frac{7}{13}$．
∴（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx=$\frac{49}{169}$，
∴sinx•cosx=-$\frac{60}{169}$．
（ii）由（i）知$\frac{π}{2}＜x＜π$，sinx•cosx=-$\frac{60}{169}$．
∴sin-cosx=$\sqrt{（sinx-cosx）^{2}}$=$\sqrt{1-2sinxcosx}$=$\sqrt{1+\frac{120}{169}}$=$\frac{17}{13}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{sinx+cosx=\frac{7}{13}}\\{sinx-cosx=\frac{17}{13}}\end{array}\right.$，解得sinx=$\frac{12}{13}$，cosx=-$\frac{5}{13}$，
∴$\frac{5sinx+4cosx}{15sinx-7cosx}$=$\frac{5×\frac{12}{13}-4×\frac{5}{13}}{15×\frac{12}{13}+7×\frac{5}{13}}$=$\frac{8}{43}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数基本关系式的合理运用．