Question

如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R，（其中A＞0，ω＞0，0≤φ≤

π

2

）的部分图象，其图象与y轴交于点（0，

3

）        
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若f(

θ

2

-

π

6

)=1，求

cos(π+θ)

[cos(π-θ)-1]•cosθ

-

sin(- π 2 +θ)

cosθ•cos(π-θ)+cos(θ-2π)

的值．

Answer 1

考点：正弦函数的图象,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据图象确定A，ω 和φ的值即可求函数的解析式；
（Ⅱ）利用三角函数的诱导公式进行化简即可．

解答： 解：（ I）∵0≤φ≤

π

2

，
∴由五点对应法得

- π 6 ω+φ=0 π 3 ω+φ=π

，解得ω=2，φ=

π

3

，
则f（x）=Asin（ωx+φ）=Asin（2x+

π

3

），
∵图象与y轴交于点（0，

3

），
∴f（0）=Asin

π

3

=

3

，解得A=2，
故f(x)=2sin(2x+

π

3

)．
（ II）∵f(

θ

2

-

π

6

)=1，
∴得sinθ=

1

2

，
则

cos(π+θ)

[cos(π-θ)-1]•cosθ

-

sin(- π 2 +θ)

cosθ•cos(π-θ)+cos(θ-2π)

=

-cosθ

cosθ(-1-cosθ)

-

-cosθ

-cosθ•cosθ+cosθ

=

1

1+cosθ

-

1

cosθ-1

=-

2

sin2θ

=-8．

点评：本题主要考查三角函数解析式的求解以及诱导公式的应用，根据图象确定A，ω 和φ的值是解决本题的关键．