Question

已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） b_n=

1

(n+1)an

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由题设知

1+2d

1

=

1+8d

1+2d

，由此能求出{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由b_n=

1

(n+1)an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（I）由题设知公差d≠0．
由a₁=1且a₁，a₃，a₉成等比数列得：

1+2d

1

=

1+8d

1+2d

，…（3分）
解得d=1或d=0（舍），
故{a_n}的通项a_n=1+（n-1）×1=n．…（5分）
（Ⅱ）∵b_n=

1

(n+1)an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，…（7分）
∴S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．…（10分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．