Question

平行四边形ABCD中，CD=1，∠BCD=60°，且BD⊥CD，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．
（1）求证：BD⊥平面CDE；
（2）求证：GH∥平面CDE；
（3）求三棱锥D-CEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得ED⊥平面ABCD，从而ED⊥BD．又BD⊥CD，由此能证明BD⊥平面CDE．
（2）连结EA，则GH∥AB，由此能证明GH∥平面CDE．
（3）由V_D-CEF=V_C-DEF，利用等积法能求出三棱锥D-CEF的体积．

解答： （1）证明：平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD．
∵ED⊥AD，∴ED⊥平面ABCD．
∴ED⊥BD．又∵BD⊥CD，∴BD⊥平面CDE．
（2）证明：连结EA，则G是AE的中点．
∴△EAB中，GH∥AB．又∵AB∥CD，
∴GH∥CD，∴GH∥平面CDE．
（3）解：设Rt△BCD中BC边上的高为h．
∵CD=1，∠BCD=60°，∴BC=2，h=

3

2

．
即：点C到平面DEF的距离为

3

2

，
∴V_D-CEF=V_C-DEF=

1

3

•

1

2

•2•2•

3

2

=

3

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．