Question

已知抛物线C的准线方程为x=-

1

4

．
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ） 若过点P（t，0）的直线l与抛物线C相交于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点O，求证t为常数，并求出此常数．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）直接利用抛物线的准线方程，求解抛物线C的标准方程即可；
（Ⅱ）设出直线方程与抛物线联立，转化原点O落在以AB为直径的圆上，得到

OA

•

OB

=0，求出t的值即可证明结果．

解答： 解：（Ⅰ）由准线方程为x=-

1

4

可设抛物线C的方程y²=2px，（p＞0）．
求得p=

1

2

，…（2分）                                        
故所求的抛物线C的方程为：y²=x； …（4分）
（Ⅱ）证明：依题意可设过P的直线l方程为：x=my+t（m∈R），…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x=my+t y2=x

得：y²=my+t，
依题意可知△＞0恒成立，且y₁•y₂=-t，…（8分）
原点O落在以AB为直径的圆上．
令

OA

•

OB

=0即x₁x₂+y₁y₂=（y₁•y₂）²+y₁•y₂=（-t）²-t=0．…（10分）
解得：t=1，t=0即t为常数，∴原题得证． …（12分）
（说明：直线l方程也可设为：y=k（x-t），但需加入对斜率不存在情况的讨论，否则扣1分）

点评：本题考抛物线的标准方程的求法，直线与椭抛物线的位置关系，抛物线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．