Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，D是AB中点，（直三棱柱，指侧棱垂直于底面的棱柱）．
（1）求证：AC⊥BC₁；　
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁
（3）求点C到平面ABC₁的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用勾股定理的逆定理判断出AC⊥BC，同时因为三棱柱为直三棱柱，从而证出．
（2）因为D为AB的中点，连接C₁B和CB₁交点为E，连接DE，∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，根据三角形中位线定理得DE∥AC₁，得到AC₁∥平面CDB₁；
（3）利用等体积，求点C到平面ABC₁的距离．

解答： （1）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC⊥BC，且BC₁在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC₁；
（2）证明：设CB₁与C₁B的交点为E，连接DE，
∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，
∴DE∥AC₁，
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁；
（3）解：△ABC₁中，AB=5，AC₁=5，BC₁=4

2

，
∴S△ABC1=

1

2

×4

2

×

25-8

=2

34

，
设点C到平面ABC₁的距离为h，则

1

3

×2

34

h=

1

3

×

1

2

×3×4×4=

6

17

34

，
∴点C到平面ABC₁的距离为

6

17

34

．

点评：本题考查线面垂直，考查线面平行，考查等体积，求点C到平面ABC₁的距离，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．