Question

如图，△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN，分别交AB，AC于M，N两点，若

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

．试问：

1

x

+

1

y

是否为定值？

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：根据图形得

MG

=

AG

-

AM

=（

1

4

-x）

AB

+

1

4

AC

，

GN

=

AN

-

AG

=y

AC

-

1

4

（

AB

+

AC

）=-

1

4

AB

+（y-

1

4

）

AC

，利用共线向量的条件得出（

1

4

-x）（y-

1

4

）+

1

16

=0，
化简即可得出

1

x

+

1

y

=4=定值．

解答： 解：根据题意得出，
△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN，分别交AB，AC于M，N两点，若

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

．
∴

AG

=

1

2

AD

=

1

4

（

AB

+

AC

），
∴

MG

=

AG

-

AM

=（

1

4

-x）

AB

+

1

4

AC

，

GN

=

AN

-

AG

=y

AC

-

1

4

（

AB

+

AC

）=-

1

4

AB

+（y-

1

4

）

AC

，
∵

MG

∥

GN

，
∴（

1

4

-x）（y-

1

4

）+

1

16

=0，
即

1

4

（x+y）-xy=0，
∴

1

x

+

1

y

=4=定值．

点评：本题考查的知识点是向量的线性运算性质及几何意义，向量的共线定理，及三角形的重心，其中根据

MG

与

NG

共线，根据共线向量基本定理知，进而得到x，y的关系式，是解答本题的关键．