Question

已知函数f（x）=ln（1+2x）+ax（a＜0）
（1）若f（x）在x=0处取极值，求a的值，
（2）讨论f（x）的单调性，
（3）证明（1+

1

3

）（1+

1

9

）…（1+

1

3n

）＜

e

，（e为自然对数的底数，n∈N^*）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′(x)=

2

1+2x

+a，f′（0）=2+a=0，由此能求出a的值．
（2）由f′(x)=

2

1+2x

+a=

2ax+2+a

1+2x

，根据a的范围利用导数性质能求出f（x）的单调性．
（3）当a=-2时，f（x）在（-

1

2

，+∞）上单调递减，从而得到ln（1+2x）＜2x，由此利用对数性质能证明（1+

1

3

）（1+

1

9

）…（1+

1

3n

）＜

e

．

解答： （1）解：∵f（x）=ln（1+2x）+ax（a＜0）
∴f′(x)=

2

1+2x

+a，
∵f（x）在x=0处取极值，
∴f′（0）=2+a=0，解得a=-2，
验证知a=-2符合条件，∴a=-2．
（2）解：f′(x)=

2

1+2x

+a=

2ax+2+a

1+2x

，
若

a＜0 2+a≤0

，当a≤-2时，f′（x）≤0对x∈（-

1

2

，+∞）恒成立，
∴f（x）在（-

1

2

，+∞）上单调递减；
-

2+a

2a

=-

1

a

-

1

2

＞-

1

2

，
若-2＜a＜0，由f′（x）＞0，得2ax+2+a＞0，
∴-

1

2

＜x＜-

2+a

2a

，
再令f′（x）＜0，得x＞-

2+a

2a

，
∴f（x）在（-

1

2

，-

2+a

2a

）上单调递增，在（-

2+a

2a

，+∞）上单调递减．
（3）证明：由（2）知，当a=-2时，f（x）在（-

1

2

，+∞）上单调递减，
当x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）=0，
∴ln（1+2x）＜2x，
∴ln[（1+

1

3

）（1+

1

9

）…（1+

1

3n

）]
=ln（1+

1

3

）+ln（1+

1

9

）+…+ln（1+

1

3n

）
＜

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

(1-

1

3n

)＜

1

2

，
∴（1+

1

3

）（1+

1

9

）…（1+

1

3n

）＜

e

．

点评：本题考查实数值的求法，考查单调性的讨论，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．