Question

设数列{a_n}是等差数列，{b_n}是各项均为正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=19，a₅+b₃=9．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_nb_n+

1

an•an+1

，S_n为数列{c_n}的前n项和，求S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”和“裂项求和”分组求和即可得出．

解答： 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q．
∵a₃+b₅=19=1+2d+q⁴，
a₅+b₃=9=1+4d+q²．
化为2d+q⁴=18，4d+q²=8，
消d得2q⁴-q²-28=0，
∴q²=4（q＞0），
∴q=2，d=1，
∴a_n=n，bn=2n-1
（2）记Tn=1•20+2.21+3•22+…+n•2n-1，
2Tn=1•21+2•22+…+(n-1)•2n-1+n•2n，
∴-Tn=1+2+22+…+2n-1+n•2n=(1-n)•2n-1
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．
∵

1

an•an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
记

1

an•an+1

的前n项和Q_n，
则Q_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

，
∴Sn=Tn+Qn=(n-1)•2n+

2n+1

n+1

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”和“裂项求和”、分组求和的方法，考查了推理能力和计算能力，属于较难题．