Question

设x₁＜x₂，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线f（x）=mlnx+ax²+bx+c（ma＜0）上两点，直线AB的斜率为k．
（Ⅰ）试比较k与f′（

x1+x2

2

）的大小；
（Ⅱ）若存在实数x₀∈（x₁，x₂），使得k=f′（x₀），求证：x₀＜

x1+x2

2

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=mx^-1+2ax+b，k-f′（

x1+x2

2

）=

m

x2-x1

[ln

x2

x1

-

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

]，设g（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，t＞1，则g′(t)=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，由此能比较k与f′（

x1+x2

2

）的大小．
（Ⅱ）设h（x）=f′（x）=mx^-1+2ax+b，则h′（x）=-mx^-2+2a，由此利用导数性质能证明x₀＜

x1+x2

2

．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=mlnx+ax²+bx+c，（ma＜0），x₁＜x₂，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的斜率为k．
∴f′（x）=mx^-1+2ax+b，
k-f′（

x1+x2

2

）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

-f′(

x1+x2

2

)
=m（

lnx2 -lnx1

x2-x1

-

2

x1+x2

）
=

m

x2-x1

[ln

x2

x1

-

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

]，
设g（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，t＞1，
则g′(t)=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，g（t）在（1，+∞）上单调增加，
g（t）＞g（1）=0，∴

1

x2-x1

[ln

x2

x1

-

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

]＞0，
故当m＞0时，k＞f′(

x1+x2

2

)，
当m＜0时，k＜f′(

x1+x2

2

)．
（Ⅱ）证明：设h（x）=f′（x）=mx^-1+2ax+b，则h′（x）=-mx^-2+2a，
当m＞0，a＜0时，h′（x）＜0，h（x）=f′（x）在（0，+∞）上单调递增，
k=f′(x0)＞f′(

x1+x2

2

)，得x0＜

x1+x2

2

．
当m＜0，a＞0时，h′（x）＞0，h（x）=f′（x）在（0，+∞）上单调递增，
k=f′(x0)＜f′(

x1+x2

2

)，∴x₀＜

x1+x2

2

．
综上所述，x₀＜

x1+x2

2

．

点评：本题考查两数大小的比较，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．