Question

5．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的方程为$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ²-8ρsinθ+15=0．
（Ⅰ）写出C₁的参数方程和C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P在C₁上，点Q在C₂上，求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三种方程的转化方法，写出C₁的参数方程和C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）设P（3cosα，sinα），则|PC₂|=$\sqrt{（3cosα-4）^{2}+si{n}^{2}α}$=$\sqrt{8（cosα-\frac{3}{2}）^{2}-1}$，即可求|PQ|的最大值．

解答 解：（Ⅰ）曲线C₁的方程为$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$，参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．
曲线C₂的极坐标方程为ρ²-8ρsinθ+15=0，直角坐标方程为x²+y²-8y+15=0，即（x-4）²+y²=1；
（Ⅱ）设P（3cosα，sinα），则|PC₂|=$\sqrt{（3cosα-4）^{2}+si{n}^{2}α}$=$\sqrt{8（cosα-\frac{3}{2}）^{2}-1}$，
∴cosα=-1，|PC₂|_max=7，
∴|PQ|的最大值为7+1=8．

点评 本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，考查三角函数知识，属于中档题．