Question

15．设偶函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象与直线y=2的某两个交点的横坐标分别为x₁，x₂，若|x₂-x₁||的最小值为π，则该函数在下列哪个区间上单调递增（　　）

• A． （0，$\frac{π}{2}$）
• B． （-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）
• C． （-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{4}$）
• D． （$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）

Answer 1

分析 根据y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是偶函数，可得φ=$\frac{π}{2}$，图象与直线y=2的某两个交点的横坐标分别为x₁，x₂，若|x₂-x₁||的最小值为π，可知周期为π，求出ω，可得函数y的解析式，即可求出单调递增区间，可得答案．

解答 解：由题意y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是偶函数，可得φ=$\frac{π}{2}$，即y=2cosωx．
图象与直线y=2的某两个交点的横坐标分别为x₁，x₂，若|x₂-x₁|的最小值为π，
∴函数周期T=π=$\frac{2π}{ω}$，
解得ω=2．
那么函数y=2cos2x．
令-π+2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，
得：$-\frac{π}{2}+kπ≤x≤kπ$．
那么：函数y在区间（-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{4}$）上是增函数．
故选C．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于基础题．