Question

16．在直角坐标系xOy中，直线$l：\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t为参数，$α∈（0，\frac{π}{2}）$）与圆C：x²+y²-2x-4x+1=0相交于点A，B，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l与圆C的极坐标方程；
（2）求$\frac{1}{{|{OA}|}}+\frac{1}{{|{OB}|}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三种方程的转化方法，求直线l与圆C的极坐标方程；
（2）利用极径的意义，即可求$\frac{1}{{|{OA}|}}+\frac{1}{{|{OB}|}}$的最大值．

解答 解：（1）直线l的极坐标方程为θ=α（ρ∈R），
圆C的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+1=0，
（2）θ=α，代入ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+1=0，
得ρ²-2ρcosα-4ρsinα+1=0，
显然${ρ_1}＞0，{ρ_2}＞0，\frac{1}{{|{OA}|}}+\frac{1}{{|{OB}|}}$=$\frac{{{ρ_1}+{ρ_2}}}{{{ρ_1}{ρ_2}}}=2cosα+4sinα$=$2\sqrt{5}cos（α-φ）≤2\sqrt{5}$，
所以$\frac{1}{{|{OA}|}}+\frac{1}{{|{OB}|}}$的最大值为$2\sqrt{5}$．

点评 本题考查三种方程的转化，考查极径的意义，考查韦达定理，属于中档题．