Question

10．已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+$\frac{π}{4}}$）（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）讨论f（x）在区间[0，π]上的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两角和的正弦公式，二倍角公式化简解析式，由三角函数的周期公式求出实数ω的值；
（Ⅱ）由x∈[0，π]求出2x+$\frac{π}{4}$的范围，利用正弦函数的单调性，求出f（x）在区间[0，π]上的单调性．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=4cosωxsin（ωx+$\frac{π}{4}$）
=2$\sqrt{2}$sinωx•cosωx+2$\sqrt{2}$cos²ωx
=$\sqrt{2}$（sin2ωx+cos2ωx）+$\sqrt{2}$
=2sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$，
所以 T=$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1；
（Ⅱ）由（1）知，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$，
因为0≤x≤π，所以$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{9π}{4}$，
当$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{9π}{4}$时，
即0≤x≤$\frac{π}{8}$或$\frac{5π}{8}$≤x≤π时，f（x）是增函数，
当$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$时，即$\frac{π}{8}$≤x≤$\frac{5π}{8}$时，f（x）是减函数，
所以f（x）在区间[0，$\frac{π}{8}$]、[$\frac{5π}{8}$，π]上单调递增，
在区间[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]上单调递减．

点评 本题考查了正弦函数的性质，三角恒等变换，以及三角函数的周期公式的应用，考查整体思想，化简、计算能力，常考题型．