Question

19．已知函数f（x）=4sinxcos（x+$\frac{π}{6}$），x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利用两角和余差和二倍角基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；
（2）x在$[{0，\frac{π}{2}}]$上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值．

解答 解：（Ⅰ）由题意：函数f（x）=4sinxcos（x+$\frac{π}{6}$），x∈R；
化简可得：$f（x）=4sinxcos（{x+\frac{π}{6}}）$
=$4sinx（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx-\frac{1}{2}sinx}）$
=$2\sqrt{3}sinxcosx-2{sin^2}x$
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x-1$
=$2（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x）-1$
=$2sin（2x+\frac{π}{6}）-1$．
根据正弦函数的图象和性质：
可得$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z$，是单调递减，
解得：$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ$，
所以函数f（x）的单调减区间为$[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}]，k∈Z$．
（Ⅱ）因为$0≤x≤\frac{π}{2}$，
所以$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$，
故得$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，
于是 $-1≤2sin（2x+\frac{π}{6}）≤2$，
所以-2≤f（x）≤1．
当且仅当$x=\frac{π}{2}$时 f（x）取最小值$f{（x）_{min}}=f（\frac{π}{2}）=-2$；
当且仅当$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{6}$时最大值$f{（x）_{max}}=f（\frac{π}{6}）=1$．
故得函数f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最大值是1，最小值为-2．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．