Question

11．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得到下表数据

x	6	8	10	12
y	2	3	5	6

（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$；
（2）试根据（2）中求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
（相关公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$x，参考数据$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i=158，$\sum_{i=1}^{4}$x${\;}_{i}^{2}$=344）

Answer 1

分析 （1）利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，即可写出回归方程；
（2）由回归直线方程计算x=9时$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（1）根据表中数据，得$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（6+8+10+12）=9，$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（2+3+5+6）=4，
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{158-4×9×4}{344-4{×9}^{2}}$=0.7，
∴$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$x=4-0.7×9=-2.3
故线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=0.7x-2.3；
（2）x=9时，$\stackrel{∧}{y}$=0.7×9-2.3=4，
根据线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力是4．

点评 本题考查了线性回归方程的求法和应用问题，解题的关键是利用最小二乘法求回归方程的系数，是基础题目．