Question

18．已知函数$f（x）=lnx，g（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+x$．
（1）设G（x）=2f（x）+g（x），求G（x）的单调递增区间；
（2）证明：当x＞0时，f（x+1）＞g（x）；
（3）证明：k＜1时，存在x₀＞1，当x∈（1，x₀）时，恒有$f（x）+g（x）-\frac{1}{2}＞k（{x-1}）$．

Answer 1

分析 （1）求出G（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）令H（x）=f（x+1）-g（x），求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而证出结论即可；
（3）令F（x）=f（x）+g（x）-$\frac{1}{2}$-k（x-1），求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而证出不等式即可．

解答 解：（1）由题意知，$G（x）=2f（x）+g（x）=2lnx-\frac{1}{2}{x^2}+x，（{x＞0}）$…（1分）
从而$G'（x）=\frac{2}{x}-x+1=-\frac{{{x^2}-x-2}}{x}$…（2分）
令G'（x）＞0得0＜x＜2…（3分）
所以函数G（x）的单调递增区间为（0，2）…（4分）
（2）令$H（x）=f（{x+1}）-g（x）=ln（{x+1}）+\frac{1}{2}{x^2}-x$…（5分）
从而$H'（x）=\frac{1}{x+1}+x-1=\frac{x^2}{x+1}$…（6分）
因为x＞0，所以H'（x）＞0，故H（x）在（0，+∞）上单调递增…（7分）
所以，当x＞0时，H（x）＞H（0）=0，
即f（x+1）＞g（x）…（8分）
（3）当k＜1时，
令$F（x）=f（x）+g（x）-\frac{1}{2}-k（{x-1}）=lnx-\frac{1}{2}{x^2}+x-\frac{1}{2}-k（{x-1}），（{x＞0}）$…（9分）
则有$F'（x）=\frac{1}{x}-x+1-k=\frac{{-{x^2}+（{1-k}）x+1}}{x}$…（10分）
由F'（x）=0得-x²+（1-k）x+1=0，
解之得，${x_1}=\frac{{1-k-\sqrt{{{（{1-k}）}^2}+4}}}{2}＜0，{x_2}=\frac{{1-k+\sqrt{{{（{1-k}）}^2}+4}}}{2}＞1$，
…（11分）
从而存在x₀=x₂＞1，当x∈（1，x₀）时，F'（x）＞0，
故F（x）在[1，x₀）上单调递增，从而当x∈（1，x₀）时，F（x）＞F（1）=0，
即$f（x）+g（x）-\frac{1}{2}＞k（{x-1}）$…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．