Question

已知函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+2cos²x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）已知a，b，c是△ABC三边长，且f（C）=2，△ABC的面积S=10

3

，c=7．求角C及a，b的值．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式及二倍角的余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期，利用正弦函数的单调性即可求出f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）由f（C）=2，根据第一问确定出的解析式求出C的度数，利用三角形面积公式列出关系式，将sinC值代入求出ab的值，利用余弦定理列出关系式，将cosC代入求出a+b的值，联立即可求出a与b的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

+sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

+cos2x+1=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得到-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z，
则函数f（x）的递增区间是[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）由f（C）=2，得到2sin（2C+

π

6

）+1=2，即sin（2C+

π

6

）=

1

2

，
∴2C+

π

6

=

π

6

或2C+

π

6

=

5π

6

，
解得：C=0（舍去）或C=

π

3

，
∵S=10

3

，
∴

1

2

absinC=

3

4

ab=10

3

，即ab=40①，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即49=a²+b²-ab，
将ab=40代入得：a²+b²=89②，
联立①②解得：a=8，b=5或a=5，b=8．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．