Question

14．若双曲线${x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据题意，设双曲线的焦点坐标为（±c，0），求出其渐近线方程，结合题意，由点到直线的距离可得$\frac{|0+bc|}{\sqrt{1+{b}^{2}}}$=2，解可得b的值，进而由双曲线的几何性质可得c的值，由双曲线的离心率公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线${x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的焦点在x轴上，设其坐标为（±c，0），
则有c=$\sqrt{1+{b}^{2}}$，
双曲线的渐近线方程为：y=±bx，即y±bx=0，
又由题意，双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为2，则有d=$\frac{|0+bc|}{\sqrt{1+{b}^{2}}}$=b=2，
即b=2，
则c=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，
则其离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$；
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线方程中b的值．