Question

18．定义：$|\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}|$=ad-bc，如$|\begin{array}{l}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}|$=1×4-2×3=-2．当x∈R时，$|\begin{array}{l}{{e}^{x}}&{3}\\{1}&{2}\end{array}|$≥k恒成立，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-3]
• B． （-∞，-3）
• C． （-3，+∞）
• D． [-3，+∞）

Answer 1

分析 依题意知，?x∈R，2e^x-3≥k恒成立，构造函数g（x）=2e^x-3，利用导数可知g（x）=2e^x-3在R上单调递增，且x→-∞时，g（x）→-3，从而可得答案．

解答 解：∵$|\begin{array}{l}{{e}^{x}}&{3}\\{1}&{2}\end{array}|$=2e^x-3≥k恒成立，
令g（x）=2e^x-3，
则k≤g（x）_min．
∵g′（x）=2e^x＞0，
∴g（x）=2e^x-3在R上单调递增，
又x→-∞时，g（x）→-3，
∴k≤-3，
即实数k的取值范围是（-∞，-3]，
故选：A．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查构造函数思想与分离参数法的应用，属于中档题．