Question

已知扇形面积为S，扇形中心角为α，求扇形周长与中心角α的关系式，并求周长c的最小值．

Answer 1

考点：弧长公式

专题：三角函数的求值

分析：设半径为r，弧长为l，则 

1

2

lr=4，扇形周长为c=l+2r，即可求出扇形周长的最小值．

解答： 解：设半径为r，弧长为l=rα，则S=

1

2

lr=

1

2

r2α，
∴扇形周长为c=l+2r=（2+α）r=（2+α）

2S α

；
c=（2+α）

2S α

=

2S α (4+4α+α2)

=

8S α +8S+2Sα

≥

8S+8S

=4

S

，
当且仅当

8S

α

=2Sα，即α=2时，扇形周长的最小值为：4

S

．

点评：本题考查扇形的周长与面积，考查基本不等式的应用，属于基础题．